Concours Medecine 2023 Mathématiques

Question 1 :

Dans l'ensemble $C$, si $z = \sqrt{5} e^{-\frac{i\pi}{8}}$, alors :

A) $z = \frac{\sqrt{10+5\sqrt{2}}}{2} - \frac{i\sqrt{10-5\sqrt{2}}}{2}$

B) $z = \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} - \frac{i\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$

C) $z = \frac{\sqrt{10+5\sqrt{2}}}{2} + \frac{i\sqrt{10-5\sqrt{2}}}{2}$

D) $z = \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} + \frac{i\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$

E) $z = \frac{\sqrt{10+5\sqrt{2}}}{2} - \frac{i\sqrt{10+5\sqrt{2}}}{2}$

Question 2 :

Le nombre complexe $z = \left( \frac{1}{\sqrt{2}} (1 - i\sqrt{3}) \right)^{10}$ est égale à :

A) $z = -512$

B) $z = \frac{\sqrt{3}}{2} - i\frac{1}{2}$

C) $z = 512$

D) $z = 251$

E) $z = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$

Question 3 :

Pour $z \in \mathbb{C} \setminus \{1\}$, l'ensemble des points M d'affixes $z$ tels que $\frac{z+1}{z-1}$ est réel est :

A) La droite (Ox) privée du point (1,0)

B) La droite (Oy) privée du point (0,1)

C) Le cercle de centre O et de rayon 1

D) La droite (Ox)

E) Le cercle de centre O et de rayon 1 privé du point (1,0)

Question 4 :

$(U_n)_{n≥2}$ est la suite définie par $U_n = \left( 1 - \frac{1}{2^2} \right) \times \left( 1 - \frac{1}{3^2} \right) \times \ldots \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right)$, $n \geq 2$. $\lim_{n \to +\infty} (U_n)$ est égale à :

A) 1

B) 0

C) $+\infty$

D) $\frac{1}{2}$

E) la limite n'existe pas

Question 5 :

$(U_n)_{n≥1}$ et $(V_n)_{n≥1}$ sont deux suites définies par : $U_n = \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \ldots \frac{1}{2^n}$ ; $\ln(V_n) = U_n \ln(2)$

A) $\lim_{n \to +\infty} U_n = 1$ et $\lim_{n \to +\infty} V_n = \ln(2)$

B) $\lim_{n \to +\infty} U_n = \frac{1}{2}$ et $\lim_{n \to +\infty} V_n = \ln(2)$

C) $\lim_{n \to +\infty} U_n = 2$ et $\lim_{n \to +\infty} V_n = 1$

D) $\lim_{n \to +\infty} U_n = \frac{1}{2}$ et $\lim_{n \to +\infty} V_n = 2$

E) $\lim_{n \to +\infty} U_n = 1$ et $\lim_{n \to +\infty} V_n = 2$

Question 6 :

Soit f une fonction définie sur $\mathbb{R}^{+*}$ par : $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+2}\sqrt{x}}$. La $\lim_{x \to 0^+} f(x)$ est égale à :

A) $+\infty$

B) 0

C) 1

D) $\frac{1}{2}$

E) f n'admet pas de limite en $0^+$

Question 7 :

Soit g une fonction définie sur $\mathbb{R}^{+*}$ : $g(x) = \frac{(2x)^x}{(x)^{2x}}$, pour tout $x > 0$. La $\lim_{x \to +\infty} g(x)$ est égale à :

A) $+\infty$

B) 1

C) 2

D) 0

E) g n'admet pas de limite en $+\infty$

Question 8 :

f est une fonction réelle, sachant que $f(1) = 3$ et $f'(1) = -3$. La courbe de la fonction f admet au point (1,3) une tangente d'équation :

A) $y = 3x - 2$

B) $y = 3x - 6$

C) $y = -3x + 6$

D) $y = 3x$

E) $y = -3x + 2$

Question 9 :

Soit f et g deux fonctions réelles telle que : $f(x) = \ln (x - 1)$ et $g(x) = \sqrt{x + 1}$. Le domaine de définition de $g \circ f$ est :

A) $[-1, +\infty]$

B) $]1, +\infty]$

C) $[1 + \frac{1}{e}, +\infty]$

D) $]e, +\infty]$

E) $]-e, +\infty]$

Question 10 :

L'intégrale $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sin x \tan x} \, dx$ est égale à :

A) $\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

B) $2 - \sqrt{2}$

C) $\sqrt{2} - 2$

D) $\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2}$

E) $1 - \sqrt{2}$

Question 11 :

L'intégrale $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin 2x}{1 + \sin^2 x} \, dx$ est égale à :

A) 0

B) $\ln(2) + 1$

C) $\ln(2)$

D) 1

E) $-\ln(2)$

Question 12 :

Soit ( P ) et (P' ) deux plans d'équations P : $x - y - z + 2 = 0$ ; P' $x + z - 2 = 0$ respectivement et (Δ) la droite telle que : $\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 + 2t \\ z = 1 - t \end{cases}$ (t ∈ ℝ)

A) (Δ) ⊂ P

B) (Δ) ⊥ P

C) (Δ) ∩ P = φ

D) (Δ) ∩ P' = φ

E) (Δ) ⊥ P'

Question 13 :

Soit $f(x) = \begin{cases} x + x^2 \sin \frac{1}{x} & \text{si } x \neq 0 \\ 0 & \text{si } x = 0 \end{cases}$

A) f n'est pas dérivable en 0

B) $f' (0) = 0$

C) $f' (0) = 1$

D) Pour $x \neq 0$, $f'(x) = 1 + 2x \sin \frac{1}{x} + \cos \frac{1}{x}$

E) f est dérivable en 0 est $f'(0) = 2$

Question 14 :

Soit une urne qui contient 5 boules bleues, 4 boules blanches et 3 boules noires, toutes indiscernables au toucher. On tire simultanément 3 boules au hasard de l'urne. On répète cette expérience n fois de suite (n ≥ 5) en remettant dans l'urne les boules tirées après chaque tirage. Quelle est la probabilité d'obtenir 3 boules de couleurs 2 à 2 distinctes (n-1) fois exactement ?

A) $\frac{8 \times 3^n}{11^n}$

B) $\frac{8 \times 3^n}{11^n}$

C) $\frac{8 \times 3^{n-1}}{11^n}$

D) $\frac{8 \times 3^{n-1}}{11^n}$

E) $\frac{8 \times 3^n}{11^{n-1}}$

Concours d'accès en 1ère année de Médecine ou Pharmacie